Penggunaan Turunan Pada Titik Ekstrim

A. Titik Ekstrim

Titik ekstrim dibagi menjadi 2 yaitu, ekstrim lokal dan ekstrim mutlak. Perubahan kemonotonan di sekitar titik c pada I akan menghasilkan nilai terbesar dan terkecil pada fungsi F disekitar c dengan fungsi F yang kontinue pada selang I. Nilai terbesar dan terkecil itulah yang disebut dengan ekstrim local. Sedangkan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada daerah asalnya disebut ekstrim mutlak.

Definisi: Misalkan fungsi F kontinu pada selang I yang memuat titik C.

·                     Fungsi F dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika F(c) ≥ F(x) untuk setiap x€I. Disini F(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,F(c)) dinamakan titik maksimum mutlak dari fungsi F pada selang I.

·                     Fungsi F dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika F(c) ≤ F(x) untuk setiap x€I. Disini F(c) dinamakan nilai minimum mutlak, dan (c,F(c)) dinamakan titik minimum mutlak dari fungsi F pada selang I.

Nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.

Tadi sedikit ulasan mengenai titik Ekstrim, sekarang kita beralih ke pembahasan utama, yaitu penggunaan turunan pada titik ekstrim. Turunan di titik ekstrim local pada suatu fungsi yang terdefinisikan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol.

Misalkan fungsi F kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi F mencapau ekstrim local di c dan fungsi F terdefinisikan di c, maka F’(c) = 0.

Titik Kritis dan Titik Stasioner dari Fungsi Kontinu Kita menduga bahwa lokasi ekstrim mutlak dan ekstrim local dari suatu fungsi kontinu pada selang I akan tercapai di

·                     Titik ujung selang I, bila I adalah selang tertutup atau

·                     Titik c di dalam selang I yang memenuhi F’(c) = 0 atau F’(c) tidak ada.

Titik dimana lokasi ekstrim akan tercapai dinamakan titik kritis dari fungsi F. dalam kasusu F’(c) = 0, titik c dinamakan titik stasioner dari fungsi F. dalam kasusu fungsi F tidakterdefinisikan di c dengan F’-(c) ≠ F’₊(c), titik c dinamakan titik singular dari fungsi F.

Misal: Fungsi F(x) = lxl, -2≤x≤1 mempunyai tiga titik kritis, x = -2 dan x =1 sebagai ujung selang daerah asalnya, dan titik x = 0 karena F’_-(0) = -1 dan F’₊(0) = 1. Disini fungsi F mencapai minimum mutlak di titik x = 0 dengan F(0) = 0 dan encapai maksimum mutlak di titik x = -2 dengan F(-2) = 2

Gambarnya pikir ndiri

Cara mencari lokasi ekstrim mutlak pada selang tertutup:

·                     Tentukan semua titik kritis dari fungsi F pada selang tertutup [a,b] beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya.

·                     Bandiingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlakya dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.

Contoh:

Tentukan ekstrim mtlak dari fungsi F(x) = 3X⁴ – 4X³ – 1 ≤ X ≤ 2.

Jawab:

Turunan pertama dari fungsi F adalah

F’(X) = 12X³ – 12X² = 12X² (X – 1)

Sehingga titik kritis dari fungsi F tercapai apabila F’(X) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi F tercapai di

X = 0, X = 1, X = -1, X = 2, dengan F(0) = 0, F(1) = -1, F(-1) = 7, dan F(2) = 16.

Dari keempat nnilai fungsi yang terbesar adalah F(2) = 16 dan yang terkecil = -1 jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi F adalah 16, yang tercapai di X = 2, dan nilai minimumnya -1, tercapai di X=1.

Uji Turunan Pertama Untuk menentukan Lokasi Ekstrim Lokal dari selang kemonotonan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalya berdasarkan per-ubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis dari fungsi-nya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya di sekitarnya titik kritis tersebut. Di sekitar titik kritis, perubahan dari monoton naik ke monoton turun menghasilkan maksimum local sedangkan proses sebaliknya menghasilkan minimum local.

Contoh:

Tentukan semua ekstrim local beserta jenisnya dari fungsi f(X) = 3X⁴ - 4X³.

Jawab: turunan pertama dari fungsi F adalah

F’(x) = 12X³ – 12X² = 12X² (X – 1).

Karena F’(0)=0 dan F’(1)=0, maka ttik kritis dari fungsi F tercapai di X=0 dengan F(0) dan di X=1 dengan F(X)=-1. Ambillah X = 0 dan X= 1 sebagai batas untuk menentukan tanda F’(X) di setiap X€D₁=R, maka diperoleh hasil sebagai berikut.

       - - - - - - - - - - -                0       - - - - - -      0++++++++

                           F’(x)<0               F’(x)<0    F’(x)>0

Berarti fungsi F monoton naik pada selang (1,∞) dan monoton turun pada selang (0,1) dan (-∞,0). Nilai ekstrim = -1, dan jenisnya minimum local.

Uji Turunan Ke Dua misalkan fungsi F terdefinisikan pada selang terbuka I yang memnuat c.

Jika F’(c)= 0 dan F’’(c) < 0 maka fungsi F mencapai maksimum local di c.

Jika F’(c)= 0 dan F’’(c) > 0 maka fungsi F mencapai minimum local di c.

Ingat uji turunan ke dua lebih lemah dari uji turunan pertama. Jadi penggunaan uji turunan ke dua sangat terbatas.